Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння

Скачати 445.32 Kb.

Назва	Загальні теоретичні та історичні відомості про функціональні рівняння
Сторінка	4/5
Дата	25.10.2013
Розмір	445.32 Kb.
Тип	Документи

bibl.com.ua > Математика > Документи

1 2 3 4 5

ФУНКЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ОДНОРІДНОЇ ЛІНІЙНОЇ ФУНКЦІЇ

ЗАДАЧА 2. Довести, що єдина неперервна на R функція f, яка задовольняє функціональне рівняння (32), є лінійна однорідна функція f (x)=ax, де a=f (1) – довільна стала.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Співвідношення (36), встановлене в попередній задачі, доводить потрібне твердження для будь-яких раціональних чисел.

Розглянемо довільне число R і виділимо послідовність раціональних чисел {r_n}, збіжну до . Згідно з (35), матимемо f (r_n x)=r_n f (x) (x – довільне дійсне число). Переходячи до границі в цьому співвідношенні при n, дістанемо в силу неперервності функції f:

f (x)= f (x)

(x – довільне дійсне число).

Покладаючи x=1, матимемо звідси f ()=f (1) ( R ) і, отже, f (x)=ax при всіх x

R, де a=f (1) – довільна стала.
ФУНКЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ПОКАЗНИКОВОЇ ФУНКЦІЇ

ЗАДАЧА 3. Довести, що визначена на R функція f, яка тотожно не дорівнює нулю при всіх x, y

R, задовольняє функціональне рівняння

f (x+y)=f (x) f (y) (38)

і обмежена зверху хоча б на одному інтервалі (s; s+t) (t – деяке додатне число), є показниковою f (x)=a^x, де a=f (1) – додатна стала.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Покладемо в співвідношення (38) x=y=, тоді

f (z)=f ²()0

тобто функція f невід’ємна. Переконаємося, що в дійсності f (z)>0 при всіх z

R. Нехай при деякому значенні x f (x)=0, тоді в силу (38) при довільному значенні z=x+y (адже ж y – довільне) f (z)=0.

Позначивши f (1)=a>0, введемо до розгляду допоміжну функцію

g(x)=log_a f (x),

тобто f (x)=a ^g(x). Тоді рівняння (38) матиме вигляд:

a ^g⁽^x⁺^y⁾=a ^g⁽^x⁾ a ^g⁽^y⁾

або

g(x+y)=g(x) g(y).

Останнє рівняння – типу (32). Зазначивши, що з обмеженості f зверху хоча б на одному інтервалі (s; s+t) (t – деяке додатне число), випливає обмеженість зверху функції g на цьому інтервалі, скористаємося результатом задачі 1. Дістанемо g(x)=kx (k – деяка стала) або f (x)=a^kx.Оскільки f (1)=a, то k=1 і, отже, f (x)=a^x.

З результату задачі 2 для нашого випадку випливає, що єдина функція f, яка не дорівнює тотожно нулю, неперервна на R і задовольняє рівняння (38), – є саме показниковою f (x)=a^x.

ФУНКЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ЛOГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ

ЗАДАЧА 4. Довести, що єдина функція f, яка не дорівнює тотожно нулю, неперервна на проміжку (0;+) і при всіх додатних x і y задовольняє функціональне рівняння

f (xy)=f (x)+f (y) (39)

є логарифмічна f (x)=log_a x, де a – додатна стала.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Зробимо таку заміну змінної x=b^t, де b>0, b1, тобто покладемо t=log_bx (t

R). Нехай y=b^s, тобто s=log_by (s

R). Рівняння (39) матиме тоді вигляд

f (b^t b^s)=f (b^t)+f (b^s).

Введемо допоміжну функцію g(x)=b^x, яка неперервна на R. З останнього співвідношення матимемо:

g(t+s)=g(t)+g(s).

Останнє рівняння типу (32). З результату задачі 2 для нашого випадку випливає, що єдина неперервна на R функція g, яка задовольняє це рівняння, є g(x)=cx (c – довільна стала). Звідси f (a^x)=cx , тобто f (x)=c log_bx (x>0). Враховуючи, що c 0 (інакше f (x)0), матимемо, покладаючи c=, тобто a= (a – додатна стала):

f (x)==log_ax,

що й треба довести.

ФУНКЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ СТЕПЕНЕВОЇ ФУНКЦІЇ

ЗАДАЧА 5. Довести, що єдина функція f, яка тотожно не дорівнює нулю, неперервна на (0;+) при всіх додатних x, y і задовольняє функціональне рівняння

f (xy)=f (x) f (y) (40)

є степенева f (x)= , де

– стала.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Зробимо ту саму заміну, що й в попередній задачі, а саме: покладемо x=b^t (t

R), де b>0, b 1. Нехай y=b^s (s

R), тоді рівняння (40) матиме вигляд:

f (b^t b^s)= f (b^t ⁺^s)=f (b^t) f (b^s).

Введемо допоміжну функцію g(z)=b^z , яка неперервна на R. З останнього співвідношення матимемо

g(t+s)=g(t) g(s).

Це рівняння типу (38). Припускаючи , що функція g тотожно не дорівнює нулю, дістаємо з результату задачі 3 , що g(z)=a^z ( a – додатна стала), тобто

f (a^z)=a^z, або f (x)===. Отже, справді f (x)= , де

=log_ba – стала.
ФУНКЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНОГО ТАНГЕНСА.

ЗАДАЧА 6. Знайти всі розв’язки функціонального рівняння:

, (41)

де f – диференційована функція, що задовольняє рівняння (41) при довільних x, y, для яких воно має зміст.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай

D(f), тоді

.

Враховуючи (41), маємо:

.

Покладемо в (41) y=0, тоді

, звідки f (0)[1+f ²(x)]=0 і, отже, f(0)=0).

Зауважимо, що

і з неперервності функції ( адже f – диференційована функція)

.

Остаточно,

(42)

Таким чином, функціональне рівняння (41) зведено до диференціального рівняння (42) з початковою умовою f (0)=0 (див.: Призва Г.Й. Диференціальні рівняння в природознавстві та техніці.—У кн.: У світі математики. Вип. 8. К.,1977).

Розв’яжемо це рівняння. Нехай u=f (x), тоді (42) матиме вигляд:

.

Очевидно тепер, що arctg u-ax=b (b – довільна стала) і отже, arctg u=ax+b, тобто u= tg(ax+b).

З початкової умови встановлюємо, що b=0 і, остаточно,

.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ЯК ВИД ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ.

До рівнянь, розв’язками яких є функції, належать диференціальні рівняння. В диференціальному рівняння невідома функція міститься під знаком похідної або диференціала. Порядок диференціального рівняння визначає найвищій порядок похідної, яка входить до його складу. Наприклад, рівняння

+2xy=5x² є диференціальним рівнянням І – го порядку, а –4y+e^x=0 – диференціальне рівняння ІІ – го порядку. Розв’язком диференціального рівняння на певному проміжку називають усяку функцію, яка перетворює його на цьому проміжку в тотожність.

Задача відшукання конкретного окремого розв’язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається задачею Коші.

Кожне диференціальне рівняння є функціональним, але не кожне функціональне являє собою диференціальне.

Вивчення процесу чи явища математичними методами починається із складання математичної моделі. Якщо процес характеризується залежністю між певними величинами та швидкістю зміни цих величин, то вивчення такого процесу, пов’язане із дослідженням диференціального рівняння. Чим складніше явище, тим складнішим рівнянням воно описується. А розв’язування такого рівняння зовсім не залежить від конкретної природи явища, якому це рівняння відповідає.

Найпростіші диференціальні рівняння з’явилися в працях І.Ньютона (1643 – 1727) та Г.Лейбніца (1646 – 1716). У ХVIII ст. теорія диференціальних рівнянь стала могутнім засобом дослідження різноманітних явищ і процесів, наприклад: розмноження бактерій, радіоактивний розпад радію, механічний рух матеріальної точки, інтенсивність світла, коливання пружної пружини, розряд конденсатора через котушку та ін.

Приклад 1. (розмноження бактерій). На дослідах встановлено, що швидкість розмноження бактерій пропорційна їх кількості (якщо для них вистачає їжі).

Вважають, що з часом маса бактерій змінюється неперервно ( бо самі бактерії дуже малі, а їх кількість велика).

Тоді швидкість приросту маси бактерій називається швидкістю розмноження. Нехай x(t) – маса всіх бактерій на момент часу t. Тоді є швидкістю розмноження, яка пропорційна кількості бактерій. Існує таке k, що =kx (1).

За умовою, x(t) і – невід’ємні. Розглянемо лише випадок, коли k>0, бо якщо k=0, то ніякого розмноження не відбувається.

Неважко перевірити, що будь-яка функція x=Ce^kt (2), де C – деяка стала, є розв’язком рівняння (1).

Справді,

== Cke^kt=k(Ce^kt)=kx.

Функція x=Ce^kt є загальним розв’язком рівняння (1).

Коефіцієнт k залежить від виду бактерій і від зовнішніх умов. Якщо відоме значення коефіцієнта k і маса бактерій у деякий момент часу t₀, то за формулою (2) знайдемо масу бактерій у будь-який момент часу t.

Отже, x(t₀)=m₀, тоді m₀=Ce^kt.

C=, x(t)=.

Розв’язування багатьох задач у фізиці, техніці і біології, соціальних науках зводиться до математичної задачі знаходження функції f, яка задовольняє рівняння

, (3)

де k – деяка константа.

За властивостями похідних показникових функцій знаходимо, що розв’язком рівняння (1) буде будь-яка функція виду

f(x)=Ce^kx, (4)

де C – стала. Оскільки C – довільне, то розв’язків у диференціального рівняння (1) нескінченно багато. Доведено, що інших розв’язків, крім функції виду (2), у рівняння (1) немає.

1 2 3 4 5

Схожі:

Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...	В. Л. Красюк Ділова українська мова У посібнику подано основні теоретичні відомості з ділового українського мовлення, висвітлено питання правопису та загальні мовні...
1. Загальні відомості про районні організації політичних партій Загальні відомості про районні організації політичних партій (останні дані про кількість зареєстрованих районних організацій, порівняльний...	Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та... Тема 1: Історичні відомості про виникнення та розвиток хлібопекарського та кондитерського виробництва, їх місце та роль у сучасному...
Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; поглибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...	ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ЗАСТУПНИКА ГОЛОВИ РАЙОННОЇ ДЕРЖАВНОЇ... Виконує функціональні повноваження першого заступника голови районної державної адміністрації у разі його відсутності, діючи в межах,...
ЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОВНОВАЖЕННЯ КЕРІВНИКА АПАРАТУ Закону України „Про державну службу” та здійснює координацію роботи з питань запобігання проявам корупції в апараті районної державної...	Додатки до уроку «Материки Землі» Додаток Історичні відомості про виникнення материків Земля — одна з 9 планет, якi обертаються навколо Сонця i утворюють Сонячну систему
Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби... Короткі історичні відомості. Види виробів із сірників: об’ємні вироби із сірників; картинки із сірників; аплікація із сірників;...	Лабораторна робота №2 Дослідження властивостей термопластичних насичених... Дослідження властивостей термопластичних насичених та ненасичених полімерів на прикладі поліетилену та КАУЧУКУ

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання