|
|
Скачати 430.87 Kb.
|
| IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Другий тур Умови задач Молодша ліга. Група «А» 1. Скільки чотирицифрових чисел задовольняють водночас умови та ? 2. Нехай a, b та c — попарно різні натуральні числа. Доведіть, що число має принаймні 8 різних натуральних дільників. 3. У трикутнику ABC медіана CM дорівнює довжині сторони AB. На променях CA та MB вибрано відповідно такі точки D та E, що , а . Доведіть, що прямі DM і CE перпендикулярні. 4. Прямокутники ABCD та KLMN розташовані, як показано на рис. 1. Чому дорівнює сума кутів MPC та MQD? 5. Знайдіть усі трійки попарно різних натуральних чисел x, y, z, що задовольняють рівність . 6. Доведіть, що серед будь-яких 16 складених чисел, менших за 2500, обов’язково знайдуться два, що мають більший від одиниці спільний дільник. 7. Скільки є чотирицифрових чисел, що містять дві різні парні й дві різні непарні цифри? 8. У класі вчаться 14 дівчат. Кожну дівчину спитали, скільки її однокласниць мають таке ж ім’я, як вона, а також скільки її однокласниць мають таке ж прізвище, як вона. Серед відповідей трапилися всі числа від 0 до 6. Доведіть, що деякі дві учениці мають однакові імена та прізвища. Молодша ліга. Група «Б» 1. Задача № 1 групи «А» молодшої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» молодшої ліги. 3. На дідусевій дачі ростуть 4 груші, висаджені уздовж прямої лінії, а також кілька яблунь. Відомо, що кожна яблуня розташована на відстані 10 м рівно від двох груш, а на відстані 10 м від кожної груші є принаймні одна яблуня. Скільки яблунь може рости на дідусевій дачі? 4. Задача № 4 групи «А» молодшої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» молодшої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Молодша ліга. Сьомі класи 1. Знайдіть усі натуральні числа n, для яких кожне з трьох чисел , та є простим. 2. Чи можна подати число 100 000 000 як добуток двох натуральних чисел, що не містять нулів? 3. Задача № 3 групи «Б» молодшої ліги. 4. Задача № 4 групи «А» молодшої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» молодшої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Середня ліга. Група «А» 1. Для додатних чисел a, b, c доведіть нерівність . 2. Знайдіть усі кубічні многочлени , що задовольняють умову . 3. У вписаному чотирикутнику одна з діагоналей дорівнює 10, а кожна з чотирьох сторін має довжину 6 або 8. Знайдіть радіус описаного навколо чотирикутника кола. 4. Нехай D — внутрішня точка сторони BC трикутника ABC, а точка E — середина відрізка CD. Перпендикуляр до BC, що проходить через E, перетинає сторону AC в точці F, причому . Через точку G на стороні AB трикутника проходить коло, описане навколо . Доведіть, що дотична до описаного навколо кола, проведена з точки F, дотикається також і до кола, описаного навколо . 5. Нехай m та n — деякі натуральні числа, а p та q — різні прості числа такі, що значення виразу є цілим. Доведіть, що . 6. Доведіть, що коли натуральні числа a та b взаємно прості, то й числа і також взаємно прості. 7. Числа 1, 2, 3, …, деяким чином розставлено в комірках таблиці , , причому всі числа трапляються в таблиці рівно по разу. Назвімо рядок таблиці ординарним, якщо кожен його елемент є меншим від суми інших числа, які містяться в цьому рядку. Доведіть, що в таблиці є принаймні ординарний рядок. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Середня ліга. Група «Б» 1. Задача № 1 групи «А» середньої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» середньої ліги. 3. Задано трикутник ABC. Відомо, що бісектриса кута BAC, висота трикутника, проведена з вершини C, та серединний перпендикуляр до сторони AC трикутника перетинаються в одній точці. Знайдіть величину кута BAC. 4. Нехай I — центр вписаного кола, а — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BC трикутника ABC. Доведіть, що . 5. Задача № 5 групи «А» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Старша ліга. Група «А» 1. Для додатних чисел , , …, , , , …, , , справджується нерівність . Доведіть, що справедливою є тоді й нерівність . 2. Послідовність , , задано таким чином: та — деякі додатні числа, а для кожного . Доведіть, що . 3. Нехай F, , та — точки Фейєрбаха нерівностороннього трикутника ABC, а точка I — його інцентр. Доведіть, що прямі , , та IF проходять через одну точку. Точки Фейєрбаха — це місця дотику кола дев’яти точок до вписаного (дотик внутрішнім чином) і трьох зовнівписаних (дотик зовнішнім чином) кіл трикутника: F — точка дотику до вписаного кола, — точка дотику до зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BC, — точка дотику до позавписаного кола, що дотикається до AC, — точка дотику до зовнівписаного кола, яке дотикається до AB. Коло дев’яти точок — це коло, що проходить через середини сторін трикутника. 4. Задача № 4 групи «А» середньої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» середньої ліги. 7. Нехай , , …, — деякі k підмножин множини . Відомо, що для довільних i та j, , з чотирьох множин , , та порожньою є рівно одна (через позначене доповнення множини A, тобто різниця множин ). Для кожного знайдіть найбільше можливе значення k. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Старша ліга. Група «Б» 1. Задача № 1 групи «А» старшої ліги. 2. Знайдіть усі такі многочлени вигляду , , усі коефіцієнти яких ненульові, що вираз є сталою величиною, де , , …, . 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. Задача № 4 групи «А» середньої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» середньої ліги. 6. Знайдіть усі пари цілих чисел a та b, які задовольняють рівність . 7. Задача № 7 групи «А» середньої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Старша ліга. Група «В» 1. Задача № 1 групи «А» середньої ліги. 2. Задача № 2 групи «Б» старшої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. Задача № 4 групи «Б» середньої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «Б» старшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» середньої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Відповіді та розв’язання Молодша ліга. Група «А» 1. Відповідь: 171. Розв’язання. З умови задачі маємо рівності , . Тоді чи , чи . У системі з рівнянням перший варіант дає , , а другий — , . У той же час зрозуміло, що довільне число , у якого й або й , справді задовольняє умову задачі. Тож залишилось підрахувати кількість таких чисел. Замість a можна підставити довільну ненульову цифру (9 варіантів), замість b — довільну цифру (10 варіантів), далі маємо два способи вибору c й d ( , або навпаки). При цьому ті числа, у яких (а таких чисел 9), ми порахували два рази. Тому всього умову задовольняє число. 2. Розв’язання. Перепишімо заданий вираз таким чином: . Множники , й є трьома попарно різними натуральними числами, більшими за 1. Випишімо такі вісім дільників числа : 1, , , , , , , . Число 1 є найменшим, а число найбільшим з усіх виписаних дільників. Крім того, трійка , , (як і трійка , , ) містить три різних числа. Зрозуміло, що , , і т. д. Нарешті, , тому і — аналогічно — та . Отже, всі вісім дільників різні. 3. Розв’язання. Позначимо довжину відрізків через a (рис. 2). Нехай K — така точка на промені MA, що . Тоді . Це означає, що в трикутнику KCE медіана CM дорівнює половині сторони, до якої проведена, тобто цей трикутник прямокутний, а . До того ж KCMD — паралелограм, бо обидві його діагоналі діляться точкою перетину навпіл; звідси . Тому . 4. Відповідь: . Розв’язання. Проведімо з точки M промінь MR, як показано на рис. 3. Оскільки при перетині двох паралельних прямих січною утворюються рівні внутрішні різносторонні кути, маємо та . 5. Відповідь: усі перестановки чисел 3, 7 та 9. Розв’язання. Без обмеження загальності будемо вважати, що . Задану в умові задачі рівність можна переписати як . Ураховуючи, що числа та 811 не діляться на 3, маємо: , а . Останню рівність перепишімо як , звідки , а . Таким чином, і , а умову задачі задовольняють усі трійки, що є перестановками чисел 3, 7, 9, і лише вони. 6. Розв’язання. Розгляньмо довільне складене число n, менше за 2500, та його найменший (крім одиниці) дільник d. Число d просте, бо інакше його можна розкласти на добуток менших чисел, кожне з яких також буде дільником n. Припустимо, що . Тоді . При цьому число також є дільником n, відмінним від одиниці, що дає суперечність. Отже, кожне складене число, менше за 2500, має простий дільник, що не перевищує 50. Випишімо всі прості числа, які не перевищують 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Виписаних чисел 15, тож за принципом Діріхле із довільних 16 складених чисел, менших за 2500, принаймні два діляться на одне й те саме просте число з цього списку. |
|
ОПТИМАЛЬНІ СТРАТЕГІЇ РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ: РІШЕННЯ ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ РОЗВИТКУ Ключові слова: виробнича задача, критерії оптимальності, задача оптимального агрегування, багатовимірна оптимізаційна задача |
Задача № 2 групи «А» Усередині квадрата ABCD позначено таку точку E, що трикутник BCE рівнобедрений із кутом. Знайдіть градусну міру кута |
|
Задача 2 Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт |
Задача № 1 групи «А» Назвімо число m особливим, якщо можна дібрати такі цілі a та b, що. Скільки існує натуральних чисел, менших від 123 456 789, які... |
|
Задача На тему: Рівняння з параметрами Після першого засідання гуртка, за результатами анкетування ми вирішили детальніше познайомитися з темою «Рівняння з параметрами».... |
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур.... |
|
ПРОТОКОЛ Р. Короленко – запропонував Д. Слюсара обрати старостою групи. Обґрунтував його гарні організаторські здібності, добросовісне відношення... |
Політичні еліти У всіх країнах є групи населення, які беруть найактивнішу участь у політичному житті, відіграють ключову роль у здійсненні влади.... |
|
Конкурсу: 30 команд Учасники: групи учнів 8 11 класів (класи, групи учнів класу, шкільного гуртка, клубу, позашкільних навчальних закладів, молодіжних... |
Тема: Формування вхідних та вихідних грошових потоків на підприємстві.... Задача Визначити чистий рух грошових коштів і скласти звіт про рух грошових коштів підприємства прямим та непрямим методами |