Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
|
|
Скачати 322.74 Kb.
|
Теорема 3.3.1 (Про гірський перевал). Нехай  –  -функціонал на гільбертовому просторі  з нормою  , що задовольняє умові Пале–Смейла. Припустимо, що існує  і  такі, що  і Нехай  де  Тоді  – критичне значення функціоналу і  В підрозділі 3.3 встановлено наступний результат про існування  -періодичних розв’язків задачі (2.1), (3.6) або, що теж саме, рівняння (3.7):Теорема 3.3.2. Нехай виконуються умови (i2) – (iii2) Тоді для будь-якого  та будь-якого натурального  рівняння (3.7) має ненульовий -періодичний розв’язок. Більше того, існує таке  яке не залежить від , що при  побудований розв’язок не є сталим.Доведення цієї теореми полягає в перевірці умов теореми про гірський перевал для функціоналу  Важливим фактом є те, що функціонал  задовольняє так звану умову Пале–Смейла.Підрозділ 3.4 присвячений періодичним розв’язкам задачі (2.1), (2.2). Тут встановлено основний результат другого розділу: Теорема 3.4.1. Нехай виконуються умови (i2) – (iii2). Тоді для будь-якого задача (2.1), (2.2) має ненульовий -періодичний розв’язок. При цьому існує таке що при цей розв’язок не є сталим.При доведенні цієї теореми розв’язки шукаються як критичні точки функціоналу  . Цей функціонал не задовольняє умову Пале–Смейла, хоча і задовольняє всім іншим умовам теореми про гірський перевал. Тому остання теорема не може бути використана. Замість цього розв’язок в теоремі 2.2.2 знаходиться як границя в деякому смислі розв’язків з теореми 3.3.2 при  Цей метод, відомий як метод періодичних апроксимацій, успішно використовувався в багатьох інших задачах.В підрозділі 3.5 розглядається випадок потенціалу виду  де  і  –  -періодична послідовність. Тут -періодичні розв’язки задачі (2.1), (2.2) будуються за допомогою методу умовної мінімізації.Введемо функціонали   на просторі  Відмітимо, щоДля  розглянемо задачу мінімізації (3.43)Доведено, що ця задача має розв’язок  , тобто  і  Більше того, при достатньо великих цей розв’язок несталий.В силу правила множників Лагранжа існує таке  (множник Лагранжа), щоБільше того, для множника Лагранжа маємо формулу  Покладемо  Тоді рівняння  разом із визначенням функціоналів  та  , показує, що  – критична точка функціоналу і, отже, розв’язок задачі (2.1), (2.2).В останньому підрозділі 3.6 встановлені вище теореми застосовуються до рівняння  Отримані результати уточнюють та узагальнюють відомі результати. Розділ 4 присвячений питанню існування біжучих хвиль в однорідних за просторовою змінною  ланцюгах ( ). В даному випадкуі рівняння (2.1) набуде вигляду  (4.1)де  , – одновимірний дискретний оператор Лапласа.Нагадаємо, що біжучою хвилею називається розв’язок виду  (4.2)де  – функція неперервного аргументу  Функція називається профілем хвилі. Константа  є швидкістю хвилі. Якщо  , то хвиля рухається вправо, а якщо  , то вліво. Інтерес представляють нетривіальні хвилі, тобто хвилі з профілем  тотожно не рівним нулю.Підстановка розв’язку виду (4.2) в рівняння (2.1) дає рівняння виду  (4.3)В даному розділі розглядаються біжучі хвилі двох типів: періодичні та відокремлені. Для періодичної хвилі профіль є періодичною функцією від Надалі період позначається через  – дійсне число. Профіль відокремленої хвилі перетворюється в нуль на нескінченності. Відмітимо, що для періодичного профілю  сам розв’язок  , заданий формулою (4.2), є  -періодичною функцією. Періодичність по  виникає тільки у випадку раціонального  У випадку періодичних біжучих хвиль для знаходження профілю хвилі достатньо знайти розв’язок рівняння (4.3) з умовою періодичності  (4.4)Профіль відокремленої хвилі є розв’язком рівняння (4.3) з крайовою умовою на нескінченності  (4.5)В обох випадках розв’язок може бути знайдено варіаційним методом, використовуючи теорему про гірський перевал. Скрізь далі припускається, що потенціал задовольняє умови  які в нашому випадку приймають вигляд: функція  неперервно диференційовна,  і  при  та існує таке  що Відзначимо, що в рівняння (4.3) швидкість  входить тільки в квадраті. Звідки слідує, що якщо функція задовольняє рівнянню (4.3), то існують дві біжучі хвилі з даним профілем і швидкостями  Одна з них рухається вправо, інша – вліво.В підрозділі 4.2, в залежності від крайових умов (4.4) або (4.5), розглядаються функціонали  та  на просторах  та  відповідно, які визначаються формулами (4.6)і  (4.7)Норми в цих просторах задаються рівностями   відповідно. Тут показано, що критичні точки функціоналів та є  -розв’язками рівняння (4.3), що задовольняють умови (4.4) і (4.5) відповідно.В підрозділі 4.3 розглянуто допоміжні леми. В підрозділі 4.4 за допомогою теореми про гірський перевал встановлено існування нетривіальних біжучих хвиль з періодичним профілем. Для цього достатньо встановити існування нетривіальних критичних точок функціоналу . Зазначимо, що  завжди є тривіальною критичною точкою та дає тривіальну біжучу хвилю, яка тотожньо рівна нулю.Основним результатом даного підрозділу є наступна теорема Теорема 4.4.1. Нехай виконується умова і  Тоді для будь-яких  і  рівняння (4.3) має розв’язок , що задовольняє умові (4.4). Тим самим, існують дві біжучі хвилі з профілем та швидкостями Більше того, існують такі константи  і  які не залежать від , що (4.21) (4.22)В підрозділі 4.5 доводиться існування відокремлених біжучих хвиль з тими ж припущеннями, з якими встановлено існування періодичних хвиль. Біжучі хвилі в даному випадку знаходяться як критичні точки функціоналу . Функціонал задовольняє частині умов теореми про гірський перевал. Однак, умова Пале–Смейла дляцього функціоналу не виконується. Тому критичні точки в даному випадку будуються іншим способом – за допомогою переходу до границі в критичних точках функціоналу при В цьому підрозділі встановлено такий результат |
Схожі:
|
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня СИНТЕЗ, СТРУКТУРА ТА ВЛАСТИВОСТІ АКСІАЛЬНОКООРДИНОВАНИХ КОМПЛЕКСІВ ФТАЛОЦІАНІНУ ЗАЛІЗА |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Д 64. 605. 01 Національного фармацевтичного університету за адресою: 61002, м. Харків, вул. Пушкінська, 53 |
|
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня ... |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Спеціальність: 12. 00. 08 кримінальне право та кримінологія; кримінально – виконавче право |
|
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата психологічних наук Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара МОНмолодьспорту України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
|
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
|
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України |
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Роботу виконано на кафедрі конституційного та адміністративного права юридичного факультету Київського національного університету... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua