Задача може мати декілька розв’язків; покажемо, як знайти один з них
|
|
Скачати 174.19 Kb.
|
|
5  . (Ясінський В’ячеслав) По колу розташовані сірі, бурі й малинові числа. Кожне сіре число дорівнює півсумі двох сусідніх з ним чисел, кожне буре число дорівнює сумі двох сусідніх з ним чисел, а кожне малинове — подвоєній сумі двох сусідніх з ним чисел. Відомо, що сума всіх бурих чисел  та сума всіх малинових чисел  не дорівнюють нулю. Знайдіть відношення  .Відповідь:  .Розв’язання. Нехай  ,   — три пофарбованих числа, які розташовані по колу поруч (рис. 3). Якщо — сіре число, то  . Якщо — буре число, то  . Якщо — малинове число, то  . Запишемо такі рівності для усіх трійок послідовних чисел і додамо їх. У правій частині одержимо подвоєну суму усіх чисел, а в лівій — подвоєну суму сірих, суму бурих та півсуму малинових. Таким чином, якщо  — сума усіх сірих чисел,  — сума усіх бурих чисел, а  — сума усіх малинових чисел, то     .Зауважимо, що сірі, бурі та малинові числа справді можна розташувати по колу, задовольнивши умову. Ось приклад такого розташування:  (рис. 4).9 клас 1. Порівняйте значення виразів:  та  .Відповідь: більшим є число .Розв’язання. Позначимо через  , тоді  . Перше число дорівнює .Друге число дорівнює  .2. Задача 7-3. 3. Доведіть, що серед будь-яких дев’яти дільників числа  знайдуться два, добуток яких є квадратом натурального числа.Розв’язання Усі дільники числа мають вигляд  , де  – цілі невід’ємні числа. Розіб’ємо їх усі на 8 типів: два дільники попадають в один клас, якщо у них парність степеня кожного з трьох множників —  ,  та  — однакова. Таким чином, якщо вибрані 9 дільників, то за принципом Діріхле принаймні два з них будуть мати один тип. Якщо тепер перемножити ці два дільники, то їхній добуток буде мати вигляд  ,що й треба було довести. 4. (Мисак Данило) Учитель фізкультури планує провести футбольний турнір між 8 шкільними командами в 7 турів. Протягом одного туру кожна команда грає рівно з однією іншою командою. За турнір кожна пара команд має зіграти між собою рівно один раз. а) Якщо вчитель провів 6 турів так, що жодна пара команд не зустрічалася двічі, чи обов’язково він зможе провести останній тур, не порушивши цієї умови? б) Якщо вчитель провів 5 турів так, що жодна пара команд не зустрічалася двічі, чи обов’язково він зможе провести ще два тури, не порушивши цієї умови? Відповідь: а) так; б) ні. Розв’язання. а) Оскільки в кожної команди рівно 7 суперників, то після 6-го туру, позаяк жодна пара команд не зустрічалася двічі, кожна команда не грала рівно з однією іншою. Причому ясно, що якщо команда А не грала з командою Б, то команда Б не грала з командою А. Тому всіх учасників можна розбити на 4 пари команд, які не грали між собою, і саме між цими парами провести матчі останнього туру. б) Проведемо 5 турів у такий спосіб, як це показано в таблиці. На перетині  -го рядка та  -го стовпчика вказано, в якому турі грали між собою команди та . Якщо протягом 5 турів команди не встигли зіграти між собою, відповідна комірка таблиці порожня.Як видно, протягом останніх двох турів кожні дві з трьох команд 6, 7 та 8 мають зіграти між собою. Це, звичайно, неможливо.
5  . (Нагель Ігор) Трикутник  із  вписаний у коло, бісектриса  перетинає сторону  трикутника в точці  , а описане коло — в точці M. Середня лінія  , що паралельна стороні  , перетинає  у точці O, пряма  перетинає пряму в точці N. Доведіть, що навколо чотирикутника  можна описати коло.Розв’язання. Оскільки  (рис. 5), то  , тому  . А оскільки  , то  — прямокутний з прямим кутом  . Тому  у  відрізок  — висота та бісектриса, тому він рівнобедрений. Тобто  ,  . З рівності випливає, що — вписаний.10 клас 1. Відомо, що рівняння  має корені  та  , а рівняння  має корені та  . Знайдіть корені рівняння  .Відповідь:  та  .Розв’язання. З теореми Вієта маємо, що  ,  ,  ,  . Тому  та  , звідки з теореми, оберненої до теореми Вієта, випливає, що це рівняння має корені та .2. Для яких натуральних  числа  можна розбити на дві групи по чисел у кожній таким чином, щоб добуток чисел однієї групи дорівнював сумі чисел іншої групи?Відповідь: тільки для  .Розв’язання. Припустимо, що це зробити можна. Знайдемо суму найбільших чисел — це  , а добуток найменших чисел дорівнює  . Зрозуміло, що при будь-якому іншому розподілі чисел по групах сума може тільки зменшитись (бо зараз у ній додані найбільші можливі числа) та з аналогічних міркувань добуток може тільки збільшитись. Тобто для можливості такого розбиття необхідно, щоб виконувалась нерівність:   .При  маємо, що  , тобто  , а з цієї нерівності випливає, що  . Тому залишається розглянути тільки такі випадки.При  сума чотирьох найбільших — це  , а добуток чотирьох найменших — це  . Якщо поміняти принаймні 2 числа у цих групах, навіть ті, що найменше зменшують суму та найменше збільшують добуток, тобто розглянути такі вирази: та  ,то бачимо, що добуток вже більший від суми. Аналогічна нерівність буде мати місце при усіх інших змінах чисел у групах. Тобто це неможливо. при це зробити можна:  ;при  та  неможливість просто показується перебором.
|
Схожі:
|
Знайти невідому матрицю з рівняння Знайти будь-який базис і визначити розмірність лінійного простору розв’язків системи |
Задача 2 Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт |
|
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур.... |
Пояснювальна записка до проекту Закону України ПІБ може мати багато інших осіб в країні; і номер мобільного телефону без зазначення імені його власника, очевидно не є ПД. Проте... |
|
УРОК 5 Тема: Практичн Закріпити поняття про біоценоз, біогеоценоз, екосистему, ланцюг живлення; розглянути типи взаємозв’язків організмів у біогеоценозах... |
А згідно нової рекомендації №12267 в державних установах усіх членів... В 2010 році на українській гендерній конференції йшлося про те, що в Україні також хочуть відмінити слова батько і мати і замість... |
|
2. Задача Методом квадратичної інтерполяції знайти min F(x)=x2 4x,... Методом квадратичної інтерполяції знайти min F(x)=x2 4x, починаючи пошук з крапки х0=2 |
Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі? Задача Двоє по черзі кладуть п'ятаки на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладались один на одного. Програє той, хто не може... |
|
Умови проведення виставку-конкурс "Український сувенір" Мета і завдання Автор може представити один або декілька зразків, композицію, набір тощо. Для участі у конкурсі можуть бути представлені не більше... |
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік Рівняння не має розв’язків тому, що і модулЬ, І квадрат будь-якого числа додатній, то їх сума не дорівнює нулю і не перетвориться... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua